Question

Cum se rezolva urmatorul exercitiu?
x(1/1x2 + 1/1x3 +1/3x4 +... + 1/ 2011x2012) = 2011/2012

Answer 1

Există o formulă generală care spune că, dacă a și b sunt numere consecutive, atunci:
$\frac{1}{a*b} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

Să facem o mică demonstrație a formulei, începem de la forma finală:
[tex]\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab} \\\\ a, b\ consecutive =\ \textgreater \ a+1=b =\ \textgreater \ b-a = 1 \\\\ =\ \textgreater \ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{ab}[/tex]

Acum să aplicăm formula. Să luăm inițial niște secvențe:
[tex]\frac{1}{1*2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \\\\ \frac{1}{2*3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\\\ \frac{1}{3*4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \\\\ samd.[/tex]

Să trecem la exercițiu:
[tex]x(\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3} + ... + \frac{1}{2010*2011} + \frac{1}{2011*2012}) = \frac{2011}{2012} \\\\ x(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} + ... +\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}) = \frac{2011}{2012} \\\\ [/tex]

Observăm că avem niște numere care se simplifică: -1/2 + 1/2, -1/3 + 1/3, ... -1/2011 + 1/2011.
[tex]x(\frac{1}{1} + 0 + 0 + ... + 0 + 0 -\frac{1}{2012}) = \frac{2011}{2012} \\\\ x(\frac{1}{1} -\frac{1}{2012}) = \frac{2011}{2012} \\\\ x(\frac{2012}{2012} -\frac{1}{2012}) = \frac{2011}{2012} \\\\ x(\frac{2012-1}{2012}) = \frac{2011}{2012} \\\\ x(\frac{2011}{2012}) = \frac{2011}{2012} \\\\ =\ \textgreater \ x = 1 [/tex]

Răspuns: x = 1