Question

Cum stabilesc semnul la o functie trigonometrica folosind prima derivata?
Atat domeniul cat si codomeniul este R
f(x)=sin x + cos x
derivata este: cos x - sin x
iar solutia f'(x)=0 este $\pi$ / 4 si (5* $\pi$ ) /4 (unde este sinusul egal cu cosinusul,cadranul I si III)
Cum stabilesc semnul in tabelul de semn? De ex la functia de gradul I (ax+b), pana la radacina se pune semnul opus lui a iar apoi semnul lui a,dar aici cum se face cu semnul?

Answer 1

Cateva precizari
functiile cos si sin au valoarea maxim 1(nu simultan) deci codomeniul este mult prea extins (dar valabil deoarece poate cuprinde si valori pe care functia nu le va atinge niciodata, spre deosebire de domeniu care e strct doar pe valorile in care functia este definita)
Solutiile gasite sunt doar cele cuprinse intr o perioada [0,2pi],deci pe R avem pi/4+2pi si 5pi/4+2pi
Regula spune ca defapt semnul derivatei da monotonia lui f. si nu date despre semnul lui f. Putem totusi sa gandim pentru T=[0, 2pi] astfel:
Pe [0,pi/4) cos >sin, deci f'>0 f crescatoate
In pi/4 este 0
Pe (pi/4,5pi/4) f'<0,deci f descrescatoare
In 5pi/4 este0
Pe (5pi/4,2pi] f'>0 f crescatoare
Fac sirul Rolle
f(0)=1=f(2pi)
f(pi/4)=rad2>0
F(3pi/4)=0=f(7pi/4)
f(5pi/4)=-rad2<0
Concluzie f pleaca crescator din 1 si ajunge in pi/4 la rad2(deci interval in care f>0), apoi descreste pama la 0 in 3pi/4(f tot pozitiva)
Pe 3pi/4 5pi/4 descreste de la 0 (deci f negativa) si ajunge la - rad2. De aici creste spre 0,pe care il atinge la 7pi/4(deci f tot negativa), dupa care creste in continuare pana la 1 pe care l atinge la 2pi.
Deci am folosit derivata care ne a dat informatii despre monotonie pe care le am folosit sa stabilim semnul lui f.
Se extinde apoi pe tot R.