Question

Cum trebuie să fac la ex 4 desenul?Rezolvarea e asa:
MNP-echilateral
MPQ-isoscel
MQ~PQ
m(QNP)=?
QPN=QMN
NP~MN
QP~QM
NPM +MPQ=QMP +PMN
QNP=QMN =>60:2=30

Answer 1

Desenul:
Faci un ΔMNP echilateral;
Duci prin [NA] o dreaptă (care poate trece de MP);
Punctul Q trebuie să fie pe dreapta NA (poate fi și înafara ΔMNP);

Rezolvarea:
Fie înălțimea QA (din Q) a ΔMQP;
Cum ΔMQP - isoscel, cu [MQ] ≡ [PQ]
   ⇒ 1) înălțimea QA e și bisectoarea ∡MQP;
   ⇒ 2) [QA] ⊥ [MP]; A ∈ [MP]; [MA] ≡ [AP];

Fie înălțimea NB (din N) a ΔMNP
Cum ΔMNP - echilateral
   ⇒ 1) înălțimea NB e și bisectoarea ∡MNP;
   ⇒ 2) [NB] ⊥ [MP]; B ∈ [MP]; [MB] ≡ [BP];

[QA] ⊥ [MP]; A ∈ [MP]; [MA] ≡ [AP];
[NB] ⊥ [MP]; B ∈ [MP]; [MB] ≡ [BP];
   ⇒ Punctele A și B de pe latura [MP] se suprapun, deci îl înlocuim pe B cu A (⇒ înălțimea în ΔMNP e acum [NA]);

[NA] ⊥ [MP]
[QA] ⊥ [MP]
A - punct comun;
   ⇒ Punctele N, A, P - sunt pe aceași linie / latură;

∡MNP = 60°;
înălțimea NA e și bisectoarea ∡MNP;
∡QNP = ∡ANP;
   ⇒ ∡QNP = 60° / 2;
   ⇒ ∡QNP = 30°;