Question

Cunoscand raportul dintre valoarea acceleratiei gravitationale la suprafata solului si cea a caderii libere a corpurilor la o distanta y de suprafata Pamantului n=1,031 , sa se determine y stiind ca raza medie a Pamantului este Rp=6370 km.Sa se compare rezultatul gasit cu cel ce ar rezulta din aproximatia (1-y/Rp)^2=1-2y/Rp.

Cine imi face si mie desenul?

Answer 1

Forta de atractie a Pamantului asupra unui corp punctiform de masa m este data de relatia:
F=m×M/r², unde M=masa Pamantului iar  r=distanta dintre centrul pamantului si centrul corpului punctiform.
Pentru r=R=Raza Pamantului se obtine forta la suprafata Pamantului.
Pe de alta parte, in cazul caderii libere de la inaltimi mici forta de atractie este :
F=m×g
Deci. rezulta ca g₀=M/R²  unde R=raza Pamnatului in punctul dat.
Acum putem observa ca in apropierea Pamantului acceleratia caderii libere este, in general:
g=M/(R+y)², unde y=inaltimea de la care cade liber corpul de masa m.
Problema ne spune ca
g₀/g=n
Deci:
g₀/g=(M/R²)/[M/(R+y)²] = n
Smplificam cu M
(R+y)²/R²=n
(R+y)²=nR²  Desfacem paranteza si obtinem o ecuatie de gradul 2 in y
y²+2Ry +(1-n)R²=0
y₁,₂= -R+/-R√n
Inlocuim:
y₁,₂=-6370+/-6370√1,031]
y₁,₂=-6370+/-6370×1,015]
Valoarea negativa nu convine.
y=-6370+6467,9814=97,81km
Aproxmatia negljeaza termenul y²/R², care in urma calculului meu ar fi 0,000236
y²/R²=0,000236
In timp ce 1-2y/R=1-97,81/6370=0,984645
ceea ce este suficient de mare fata de valoarea negljata(ca 250 fata de 1000000)