Question

Dacă 1/(b+c) ,1/(c+a) ,1/(b+a) sunt in progresie aritmetică atunci si a²,b²,c² sunt in progresie aritmetică.

Answer 1

r (ratia)=1/(c+a) - 1/(b+c)
r=1/(b+a) -1/(c+a) 

Deci:
1/(c+a) - 1/(b+c)=1/(b+a) -1/(c+a) 
Inmultim relatia cu (c+a)(b+c)(b+a):

(b+c)(b+a)-(c+a)(b+a)=(c+a)(b+c)-(b+c)(b+a)

(b+a)(b+c-c-a)=(b+c)(c+a-b-a)

(b+a)((b-a)=(b+c)(c-b)

b^2-a^2=c^2-b^2

a^2-b^2=b^2-c^2 (1)

a^2, b^2, c^2 in progresie aritmetica rezulta ca ratia este:

r=a^2-b^2=b^2-c^2 (2)

Din relatiile (1) si(2) rezulta ca dacă 1/(b+c) ,1/(c+a) ,1/(b+a) sunt in progresie aritmetică atunci si a²,b²,c² sunt in progresie aritmetică.