Question

Dacă a, b ,c aparțin numerelor reale,astfel încat a+b+c=1,arătați că:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$

Answer 1

evident ca:
(a-1/3)^2≥0 ⇒ a^2+1/9≥2a/3
(b-1/3)^2≥0 ⇒ b^2+1/9≥2b/3
(c-1/3)^2≥0 ⇒ c^2+1/9≥2c/3  adunam membru cu membru ultimele relatii si tinem seama ca a+b+c=1:
a^2+b^2+c^2+1/3≥2(a+b+c)/3
a^2+b^2+c^2≥2/3 - 1/3
a^2+b^2+c^2≥1/3
egalitatea are loc pentru a=b=c=1/3