Question

Dacă a,b,c sunt nr reale pozitive, sa se demonstreze ca (a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc

Answer 1

Pai daca impartim ambii membri cu 8  inecuatia devine:

(a+b)(b+c)(c+a)/8>=abc          /-reprezinta impartirea

(a+b)/2 *(b+c)/2*(c+a)/2 >=abc *-ori

Se observa ca (a+b)/2-reprezinta media aritmetica

Din inegalitatea mediilor obtinem ca:

a+b/2 >=radical din a*b

a+c/2>=radical din a*c

b+c/2>=radical din b*C

Daca inmultim  rezulta ca:

a+b/2 * b+c/2 *c+a/2>=radical din a*a*b*b*c*c

De unde reiese ca:

a+b/2.........>=radical din a patrat *b patrat*c patrat

Rezulta ca:
a+b/2+........>=abc

Ceea ce trebuia demonstrat