Question

Daca a,b,c sunt numere reale nenegative si ala a treia+b la a treia+c la a treia=3abc, demonstrati ca a= b=c

Answer 1

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)$
$a^{3}+c^{3}=(a+c)(a^{2}+c^{2}-ac)$
$b^{3}+c^{3}=(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)$
Adunam cele 3 relatii
$2a^{2}+2b^{2}+2c^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)+(a+c)(a^{2}+c^{2}-ac)+(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)+a(a^{2}+c^{2}-ac)+c(a^{2}+c^{2}-ac)+b(b^{2}+c^{2}-bc)+c(b^{2}+c^{2}-bc)=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)+a(a^{2}+c^{2}-ac)+b(b^{2}+c^{2}-bc)+c(a^{2}+c^{2}-ac+b^{2}+c^{2}-bc)=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)+a(a^{2}+c^{2}-ac)+b(b^{2}+c^{2}-bc)+c(a^{2}+b^{2}-ab)+c(ab-ac+c^{2}+c^{2}-bc)=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}-ab)+a(a^{2}-ac)+ac^{2}+b(b^{2}-bc)+bc^{2}+c*c^{2}+c(ab-ac+c^{2}-bc)=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab)+a(a^{2}-ac)+b(b^{2}-bc)+c(ab-ac+c^{2}-bc)=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab)+a^{3}-a*ac+b(b^{2}-bc-ac+ac)+c(ab+c^{2}-bc)-c*ac=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab)-a*ac-b*ac-c*ac+a^{3}+b(b^{2}-bc+ac)+c(ab+c^{2}-bc)=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac)+a^{3}+b^{3}+c^{3}-b*bc+bac+abc-c*bc-a*bc+a*bc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac)-bc(a+b+c)+<span>a^{3}+b^{3}+c^{3}+</span>bac+abc+abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)+a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$
In sfarsit din asta rezulta ca
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)$
Din relatia din enunt rezulta ca
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)=0$
Aici avem 2 solutii
$a+b+c=0\Rightarrow a=b=c=0$ pentru ca stim ca a,b si c sunt nenegative
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc=0\Rightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}-2ac+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}=0$ de unde rezulta ca a=b,b=c,c=a