Question

Daca a,b,c sunt numere reale pozitive, sa se demonstreze :

a. (a+b)(b+c)(c+a) mai mare sau egal decat 8abc
b. a(b^2+c^2) + b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) mai mare sau egal decat 6abc
c. 2(a^3+b^3+c^3) mai mare sau egal decat (a+b)ab + (b+c)bc + (a+c)ac
d. a^2+b^2+c^2 mai mare sau egal decat ab+ac+bc.

Answer 1

a.Folosim inegalitatea Ma>Mg
(a+b)/2 ≥√ab
(b+c)/2 ≥√bc
(a+c)/2 ≥√ac
Daca inmultim relatiile obtinem:
(a+b)(b+c)(a+c)/8≥√(a²b²c²)
(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc

b.Folosim inegalitatea Mp≥Mg :
√(b²+c²)/2 ≥√bc
Daca ridicam la patrat:
(b²+c²)/2 ≥ bc
b²+c² ≥ 2bc 
a(b²+c²) ≥ 2abc
Analog:
b(a²+c²) ≥ 2abc
c(a²+b²) ≥ 2abc
Daca adunam cele trei relatii:
a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²) ≥ 6abc 

c. Vom folosi inegalitatea a³+b³≥ab(a+b)...dar mai intai trebuie demonstrata)
a³+b³≥ab(a+b)
(a+b)(a²-ab+b²)≥ab(a+b)
a²-ab+b²≥ab
a²-2ab+b²≥0
(a-b)²≥0 Este adevarata pentru oricare a,b∈R.
Analog si pentru:
b³+c³≥(b+c)bc
a³+c³≥(a+c)ac
Adunand cele trei relatii vom obtine:
a³+b³+b³+c³+a³+c³≥ab(a+b)+(b+c)bc+(a+c)ac
2(a³+b³+c³)≥ab(a+b)+(b+c)bc+(a+c)ac

d.a²+b²+c²≥ab+ac+bc
a²+b²+c²-ab-ac-bc≥0 
Inmultim toata relatia cu 2:
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc≥0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)≥0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0

Sper ca ai inteles.