Question

daca a,b,c sunt termeni consecutivi ai progresiei aritmetice demonstrati ca 3(a^2+b^2+c^2)= 6(a-b)^2+(a+b+c)^2

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

consideram a primul dintre cei termeni consecutivi, b al doilea si c al treilea

r = ratia progresiei

Scriem b si c in functie de a si r:

b = a + r

c = a + 2r

a - b = a - a - r = - r

a + b + c = a + a + r + a + 2r = 3a + 3r

b^2 = (a + r)^2 = a^2 + 2ar + r^2

c^2 = (a + 2r)^2 = a^2 + 4ar + 4r^2

3(a^2 + b^2 + c^2) = 3(a^2 + a^2 + 2ar + r^2 + a^2 + 4ar + 4r^2)

=3(3a^2 + 6ar + 5r^2) = 9a^2 + 18ar + 15r^2

6(a - b)^2 = 6r^2

(a + b + c)^2 = (3a + 3r)^2 = 9a^2 + 18ar + 9r^2

6(a - b)^2 + (a + b + c)^2 = 6r^2 +  9a^2 + 18ar + 9r^2 = 9a^2 + 18ar + 15r^2

Rezulta 3(a^2 + b^2 + c^2)  =  6(a - b)^2 + (a + b + c)^2