Question

Daca a, b si c sunt numere rationale, iar ab + bc + ca = 1, aratati ca radical din (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) apartine numerelor rationale.

Answer 1

ab + bc + ca = 1 | +a²

a² + ab + bc + ca = 1 + a²

a(a+b) + c(a+b) = 1 + a²

1 + a² = (a+b)(a+c)

La fel obtinem relatiile si pentru 1 + b² si 1 + c² :

1 + b² = (b+a)(b+c)

1 + c² = (c+a)(c+b)

√(1 + a²)(1 + b²)(1 + c²) = √((a+b)(b+c)(c+a))² = |(a+b)(b+c)(c+a)| ∈ Q, deoarece a,b,c sunt rationale

qed