Question

Daca a este un numar par, atunci expresia e un numar intreg

Answer 1

Aducem la același numitor și obținem: 

$\it \dfrac{2a+3a^2+a^3}{24} = \dfrac{a(a^2+3a+2)}{24} =\dfrac{a(a+1)(a+2)}{24}$

Numărătorul reprezintă produsul a trei numere naturale consecutive, deci:

3 | a(a+1)(a+2)      (1)

Dacă a este număr par, atunci a=2k  și a+2 = 2x+2, produsul lor va fi:

a(a+2) = 2k(2k+2) = 2k·2(k+1) = 4k(k+1)      (2)

Deoarece k și k+1 sunt numere naturale consecutive, rezultă:

2|k(k+1)      (3)

Din (2), (3) ⇒8|a(a+2)       (4)

Din (1), (4) ⇒ 24|a(a+1)(a+2), pentru orice număr a, natural și par.

Prin urmare, expresia din enunț reprezintă un număr natural.