Question

daca a > 0 stabileste valoarea de adevar a propoziti A+ \frac{1}{a} \geq 2

Answer 1

Deeeci, ai:
$a + \frac{1}{a} \geq 2$

Aduci la același numitor, apoi înmulțești cu a (știind că e mai mare decât 0, știm sigur că nu va schimba semnul inegalității, deci nu avem probleme cu mai multe cazuri):
$\frac{a^2}{a} + \frac{1}{a} \geq 2 \\\\ \frac{a^2 + 1}{a} \geq 2 \\\\ a^2 + 1 \geq 2a \\\\ a^2 - 2a + 1 \geq 0$

No, acum avem o inecuație de gradul 2 echivalentă cu inecuația inițială:a² - 2a + 1 ≥ 0

Deci, dacă demonstrăm că această inecuație e adevărată, demonstrăm implicit că și inecuația inițială e adevărată.

Metoda 1.
O ecuație de gradul 2 are un Minim sau Maxim definit de următoarea formulă (e y-ul din formula punctului V)
$\frac{-\Delta}{4a}$

Să calculăm delta:
Δ = (-2)² - 4*1 = 4-4 = 0
Bun, și acel -Δ / 4a este minim sau maxim în funcție de a-ul (in)ecuației de gradul 2. Dacă a-ul e pozitiv, acea valoare este minimul, dacă a-ul este negativ, acea valoare este maxim-ul. (A se înțelege prin „a” în acest context, coeficientul de la necunoscuta la puterea a 2-a).

La noi acest a este 1, este pozitiv, dec acel punct cu delta este minimul.dacă Δ = 0, atunci -Δ / 4a e tot 0, adică -Δ / 4a = 0.
Deci minimul ecuației de gradul 2 este 0. Deci garantat e ≥ 0, deci am demonstrat inecuația.

Metoda 2.
Un fel de tabel de semne :)) L-am atașat jos.
Egalezi cu 0 și afli a, care va fi 1.
Îl pui în tabel și observi că peste tot e +, iar la 1 e 0. Deci acea ec. de gradul 2 va avea tot timpul valoarea 0 sau pozitivă, adică ≥ 0, și iar am demonstrat ecuația.

Metoda 3. (sugerată de iulyus01 :)) )
Trebuie să înmulțești inecuația cu a, apoi să grupezi termenii:

$a^2 - 2a + 1 \geq 0 \\\\ \frac{a^2 - 2a + 1}{a} \geq \frac{0}{a} \\\\ \frac{a^2 - 2a + 1}{a} \geq 0 \\\\ \frac{(a-1)^2}{a} \geq 0$
Iar în acest punct, numitorul este setat de ipoteză ca fiind mai mare decât 0, iar numărătorul este ridicat la puterea a 2-a, care va garanta că el este ≥ 0.
Iar dacă într-o fracție numărătorul este ≥ 0, iar numitorul este > 0, rezultatul va fi și el ≥ 0, deci iarăși inegalitatea este demonstrată.