Question

Dacă a și b sunt cifre consecutive în baza zece şi a > b, arătaţi că:
aaa +333 la puterea 2= 111bbb.​

Answer 1

a > b, a Λ b sunt consecutive.

a - b = 1, a = 1 + b.

aaa + 333² = 111bbb.

100a + 10a + a + 333² = 111bbb.

cum a = 1 + b.

100 ( 1 + b ) + 10 ( 1 + b ) + 1 + b + 333² = 111bbb.

100 + 100b + 10 + 10b + 1 + b + 333² = 111bbb.

111 + 111b + 333² = 111bbb.

111bbb = 100000 + 10000 + 1000 + 100b + 10b + b = 111000 + 111b.

111 ( b + 1 ) + 333² = 111000 + 111b.

111b + 111 + 110889 = 111000 + 111b.

111b + 111000 = 111000 + 111b.

Answer 2

$\it a,\ b\ -\ cifre,\ \ a=b+1\ \ \ \ \ (*)\\ \\ \overline{aaa}+333^2=a\cdot111+111^2\cdot3^2=111(a+111\cdot9)=111(a+999) \stackrel{(*)}{=}\\ \\ =111(b+1+999)=111(b+1000)=\overline{bbb}+111000=\overline{111bbb}$