Question

Daca A1 A2....An este un poligon convez cu n laturi demonstrati ca numarul diagonalelor este dat de formula n(n-3) supra 2; n mai mare sau egal decat 4 .. folosind inductia cu etapa 1 si 2

Answer 1

Asa este, din fiecare varf al unui poligon convex cu n laturi se pot duce n-3 diagonale(se exclude varful insusi si celelate doua alaturate, pe care daca le-am uni nu vor fi diagonale ci laturile adiacente varfului), deci in total n varfuri x (n-3) = n(n-3) si excluzandu-le pe cele duse in dublu sens din si in fiecare varf, avem n(n-3)/2.

 Vom demonstra si prin metoda inductiei matematice sau complete, cum se mai numeste:

Etapa 1: verificare pentru n=4, adica patrulater convex: avem 4(4-3)/2 = 2 diagonale, deci se verifica.

Etapa 2: presupunem ca afirmatia este adevarata pentru ∀n=k≥4
adica nr diagonalelor intr-un poligon convex cu k laturi este k(k-3)/2 si vom demonstra ca ea este adevarata si pentru n=k+1, adica
nr diagonalelor unui poligon convex cu k+1 laturi este (k+1)(k+1-3)/2= (k+1)(k-2)/2:

 Din ceea ce am explicitat in primele randuri ale solutiei, rezulta ca in cazul unui poligon convex cu k+1 varfuri se pot duce din primele k varfuri k(k+1-3)/2 diagonale si din al k+1 varf se pot duce (k+1-3)/2 diadonale.
 Insumand, obtinemnumarul total de diagonale:
 k(k+1-3)/2 + (k+1-3)/2 = (k-2)(k+1)/2, adica tocmai ceea ce trebuia sa demostram.
  Asta este. Succes in continuare!