Matematică, întrebare adresată de mihaivali2000, 8 ani în urmă

Dacă cos x =3/5 să se demonstreze că cos 2021x e număr rațional.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de stefan1escu

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Considerăm un număr complex z. Observăm că dacă Im(z) și Re(z) aparțin lui Q, atunci si Im(z^2), Re(z^2) aparțin Q. Prin inducție rezulta că Im(z^n), Re(z^n) aparțin lui Q, oricare ar fi n e N.

Cazul I: x aparține cadranului I => sin x = 4/5;

Fie z = 3/4 + 4/5 i = cos x + i sin x

Formula lui Moivre => z^2021 = cos(2021x) + isin(2021x)

Dar stim ca Im(z^2021) e Q rezulta cos(2021x) e Q (este numar rational)

Cazul II: x apartine cadranului IV => sin x = -4/5

Analog rezulta ca cos(2021x) e Q

mihaivali2000: Mulțumesc! Se poate o rezolvare folosind doar cunoștințe de clasa a 9 - a?

stefan1escu: Nu am stiut ca e de clasa a 9-a... Ma gandesc

stefan1escu: Deci iei prin inductie: p(n): cos(nx) e Q;

stefan1escu: Etapa de verificare: p(1) Adevarat; Etapa de demonstratie: pp p(k)(A) si dem p(k+1)(A). p(k+1): cos((k+1)x)=cos(kx)*cos(x)-sin(kx)*sin(x); cos(x) si sin(x) sunt nr rationale, cos(kx) si sin(kx) sunt rationale din etapa anterioara

mihaivali2000: sin kx, de ce este rațional?

stefan1escu: Pentru ca in inductie le faci pe amandoua odata: si sin si cos

stefan1escu: Deci cum ar veni la fiecare pas demonstrezi cu ajutorul sin(kx) si cos(kx) ca sin(k+1)x si cos(k+1)x sunt rationale

Întrebarea anterioară

Următoarea întrebare

Alte întrebări interesante

Matematică, 8 ani în urmă

Rezolva problema cu plan. 3 copii au in total 1680 lei.Primul are de 4 ori mai mult decit al doilea,iar am treilea de doua ori mai mult decit al doilea.Citi lei are fiecare copil?

Limba română, 8 ani în urmă

Cum se da coroana unui răspuns ?

Limba română, 8 ani în urmă

Analizati substantivele din primul fragment . Va rog repede! Este urgent!!!! Fragmentul este in poza, analizati asa la toate : Substantiv - caz - functie sintactica - articol .