Question

Dacă E(x) = 4x : x^2 + 1 , atunci demonstrați că -2 < E(x) < 2 , oricare ar fi x € IR \ { -1 ; 1 }

Coroana!!

Answer 1

E(x)=4x/(x²+1) (banuiesc ca la numitor ai x²+1 pentru ca altfel nu se justifica conditia x≠+-1
trebuie demonstrat ca [E(x)]²<4, adica  16x²/(x²+1)²<4⇔4x²/(x²+1)²<1⇔
⇔x²<1/4 ·(x²+1)²⇔ x²<1/4(x^4+2x²+1)⇔x²<1/4·x^4+1/2·x²+1/4⇔
⇔0<1/4 x^4-1/2·x² +1/4⇔1/4(x^4-2x²+1)>0⇔1/4·(x²-1)²>0 ceea ce e adevarat pentru orice x≠+-1
deci daca 1/4(x²-1)²>0 pt ∀x∈R-{-1, 1}⇒[E(x)]²<4⇒|E(x)|<2⇒-2<E(x)<2