Question

Daca f(x) = x^{4} - 2 x^{2} +1. Demonstrați că 0 ≤ f (x) ≤ 1 , pentru orice x∈ −[ 1,1] . Cine imi poate explica, va rog?

Answer 1

$f(x)= x^{4}-2 x^{2} +1=( x^{2}-1)^2,$, cu conditia x∈[-1; 1]. Deoarece f(x) este un patrat perfect este evident mai mare sau cel putin egal cu 0. Apoi x∈[-1,1] rezula ca patratul lui x: $x^{2}$∈[0; 1], deci; $0 \leq x^{2} \leq 1,$, scadem 1 peste tot, se pastreaza inegalitatea: $-1 \leq x^{2} -1 \leq 0$, apoi ridicam la patrat paranteza, ea devine pozitiva dar nu-l depaseste pe 1, deci:
0 ≤ f(x) ≤ 1, pentru ca 0≤$( x^{2} -1)^2$≤1