Question

Daca folosesc formula : $\frac{1}{n(n+p)=[tex] \frac{1}{p}( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+p} )$} [/tex].Cum a ajuns $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ sa fie $\frac{1}{2} ( \frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1} )$

Answer 1

Salut,

Folosim metoda coeficienților nedeterminați:

$\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{A}{2n-1}+\dfrac{B}{2n+1},\ trebuie\ s\breve{a}\ afl\breve{a}m\ pe\ A, B.\ Aducem\ la\ acelasi\ numitor:\\\\\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{A(2n+1)+B(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{2An+A+2Bn-B}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{(2A+2B)n+A-B}{(2n-1)(2n+1)}$

Egalăm coeficientului lui n al numărătorului din enunț (adică 0), cu coeficientul lui n al numărătorului de la final, al ultimei fracții, adică 2A + 2B. Apoi, egalăm termenul liber al numărătorului din enunț (adică 1), cu termenul liber al numărătorului de la final, al ultimei fracții, adică A -- B.

Deci:

2A + 2B = 0
A -- B = 1

A + B = 0
A -- B = 1, sau 2A = 1, deci A = 1/2 și B = --1/2.

Acum înțelegi de unde apare acel 1/2, care poate fi evident dat factor comun pentru cele 2 fracții obținute ?

Green eyes.