Question

Dacă fracția a supra 5040 este ireductibilă,arătați că (a+1) (a+2) (a+3) mai mic sau egal cu 2184 unde a este număr natural.

Answer 1

Daca a/5040 este o fractie ireductibila, asta inseamna ca 5040 si a nu au factori primi comuni deci (a,5040)=1(cel mai mare divizor este 1)
Hai sa vedem care sunt factorii primi ai lui 5040
Observam ca ultimele 2 cifre sunt 40, 40 divizibil cu 4, deci 5040 divizibil cu 4
5040/4=1260 ultimele 2 cifre sunt 60, deci si acest numar se imparte la 4
1260/4=315 Suma cifrelor lui 315 este 9, deci acest numar se imparte la 9
315/9=35 care stim ca este 25=7*5
Deci avem
$5040=4*4*9*7*5=2^{4}*3^{2}*5*7$
Noi trebuie sa demonstram ca acem produs este mai mare mare sau egal decat 2184, deci trebuie sa gasim valoarea minima a lui a care nu are factori primi comuni cu 5040
O luam la rand:
a=1 indeplineste aceste conditii, deci cred ca o conditie suplimentara este a>1
a=2 este divizibil cu 2, are factor comun, nu luam in considerare
a=3 este divizibil cu 3, are factor comun
a=4 este divizibil cu 2
a=5 este divizibil cu 5
a=6 este divizibil cu 2
a=7 este divizibil cu 7
a=8 este divizibil cu 2
a=9 este divizibil cu 3
a=10 este divizibil cu 2 si 5
a=11 nu este divizibil cu 2,3,5 sau 7. Deci aceasta ar fi cea mai mica valoare a lui a posibila(neluand in calcul pe 1)
Atunci avem
(a+1)(a+2)(a+3)=12*13*14=2184 care face intr-adevar 2184, putem merge mai departe cu a (13,17,23 sunt tot indivizibile cu 2,3,5,7) dar observi ca sunt numere mai mari si atunci si produsul este mai mare
Rezulta ca (a+1)(a+2)(a+3) mai mare sau egal decat 2184