Question

Daca G este centrul de greutate al unui triunghi ABC,sa se arate ca Abgc=1/3•Aabc

Answer 1

Sa notam cu m,n,p picioarele medianelor opuse lui a,b respectiv c
Stim ca Aabm=1/2Aabc (deoarece au aceeasi inaltime iar baza bm=1/2bc
deci Aabm=Aamc
la fel Agbm=Agmc (au aceeasi inaltime si bm=mc)
analog Aagp=Apgb si Acgn=Anga

inlucuim ariile mari cu suma ariilor mici din care snt compuse si obtinem
Aabm=Aamc
Aapg+Apgb+Agbm=Agmc+Acgn+Aagn
dar Abgm=Amgc
=> Abgp+Apga=Acgn+Aagn
dar Abgp=Apga si Acgn=Aagn
=> Abgp=Apga=Acgn=Aagn
=> toate triunghiurile mici - formate de varfuri, picioarele medianelor si centrul de greutate - sunt egale si au aria 1/6Aabc
deci Abgc=Abgm+Amgc=1/6Aabc+1/6Aabc=1/3Aabc
E mai usor de urmarit pe figura decat de scris

O zi buna!