Question

Daca imi da o nedeterminare 0/0 iar la numarator am un logaritm natural cum scap de nedeterminare? ($\frac{ln(1+6x)}{8x}$ -> aceasta este aplicatia )
$\frac{ \frac{ln(1+6x)}{1+6x}*1+6x}{8}$ asa ar fi bine? ( limita tinde catre 0 )

Answer 1

Doua matode sunt mai uzulae in acest caz. Consider functia f(x)=ln(1+6x), si ii aplicam definitia derivate in x=0 (unde este continua si derivabila):
$\lim_{x \to x_{0} } \frac{f(x)-f( x_{0)} }{x- x_{0} }=f'( x_{0})$. Apiicand in cazul nostru: $\lim_{ x\to0 } \frac{ln(1+6x)}{8X}= \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{1}{8} f'(0)$. Derivata  f'(x)=$\frac{6}{1+6x}$. decilimita este $\frac{1}{8}f'(0)= \frac{6}{8}$. 
A doua metoda la $\frac{0}{0}$ si∞/∞, aplicam regula lui l'Hospital, limita data este = cu limita fractiei in care derivam separat numaratorul si separat numitorulsi obtinem; $\lim_{x \to0 } \frac{ \frac{6}{1+6x} }{8}= \frac{6}{8}$. 
A treia metoda fara derivate : scriem limita sub forma: $\frac{1}{8} \lim_{x \to0} ln[(1+6x)^ \frac{1}{6x}]^6$=$\frac{1}{8}ln(e)^6= \frac{6}{8}$.