Question

Daca impartim numarul abc scris in baza 10 la numarul ac obtinem catul 6 si restul 5
a) este posibil ca numarul ac sa fie egal cu 18 justifica răspunsul
b) determina numarul abc​

Answer 1

Răspuns:

a) nu este posibil

b) $\overline{abc}$ ∈ {107; 119}

Explicație pas cu pas:

Reamintim teorema împărțirii cu rest:

D = Î · C + R  sau  D - R = Î · C

a)

• Determinăm cifrele a și c:

$\overline{ac}=18$  ⇒  a = 1 și c = 8

• Scriem desfășurat numărul $\overline{abc}$:

$\overline{abc} = \overline{1b8}=100+ 10b + 8 = 108 + 10b$

• Verificăm ipoteza $\overline{abc} -5=18 \cdot6$

108 + 10b - 5 = 108

103 + 10b = 108

10b = 108 - 103 = 5

b = 5 / 10 = 1 / 2 absurd, deoarece b trebuie să fie cifră

⇒ $\overline{ac}\neq 18$

b)

• Scriem desfășurat numărele $\overline{abc}$ și  $\overline{ac}$:

$\overline{abc} = 100a+ 10b + c\\\overline{ac} = 10a+ c$

• Aplicăm teorema împărțirii cu rest, folosind datele din enunț:

100a + 10b + c - 5 = 6 · (10a + c)

100a + 10b + c - 5 = 60a + 6c

40a + 10b - 5c - 5 = 0   | :5

8a + 2b - c - 1 = 0

2 · (4a + b) = c + 1

• Tragem concluzii cu privire la cifrele a, b, c:

2 · (4a + b) este număr par ⇒ c număr impar

cum c este o cifră ⇒ c ∈ {1; 3; 5; 7; 9}

a și b trebuie să fie cifre, cu a ≥ 1  ⇒  4a ≥ 4  ⇒ 4a + b ≥ 4

⇒ 2 · (4a + b) ≥ 8

⇒ c ≥ 7

c = 7  ⇒ 2 · (4a + b) = 8  ⇒  4a + b = 4 ⇒ a = 1 și b = 0 ⇒ $\overline{abc} = 107$

c = 9  ⇒ 2 · (4a + b) = 10  ⇒  4a + b = 5 ⇒ a = 1 și b = 1 ⇒ $\overline{abc} = 119$

• Proba:

107 - 5 = 17 · 6  ⇔  102 = 102 adevărat

119 - 5 = 19 · 6  ⇔  114 = 114 adevărat