Question

Daca la un nr natural se adauga suma cifrelor sale, se obtine 2012. gasiti toate nr cu aceasta proprietate

Answer 1

Numerele acelea nu pot avea mai putin de trei cifre, si nici mai mult de patru. 
Luam cazurile in parte.

1. Presupunem ca numarul are trei cifre, fiind de forma abc.
Atunci:
$(100a+10b+c)+(a+b+c)=2012\\ \\ 101a+11b+2c=2012$

Luand valoarea maxima pentru toate cifrele (a=b=c=9), gasim: $101\cdot 9+11\cdot 9+2\cdot 9=1026$

Suma e mult prea mica. Rezulta ca numarul trebuie sa aiba mai mult de 3 cifre.

2. Numar de 4 cifre abcd.

$(1000a+100b+10c+d)+(a+b+c+d)=2012 \\ \\ 1001a+101b+11c+2d=2012.$

Luam a=1. Rezulta  $101b+11c+2d=1011$.
Nr. b trebuie sa fie 9, altfel suma e prea mica. Rezulta:
$11c+2d=1011-909=102.$

Pentru c=8 rezulta $2d=17 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ d=7$

Primul numar bun este 1987.

Pentru c=9, rezulta $2d=3$, imposibil.

Continuam cu a=2.
In acest caz, cifra sutelor, b, trebuie sa fie zero: b=0, altfel suma e prea mare.

Deducem  $11c+2d=1011$

Nu se pot gasi cifre c si d suficient de mari.

Singurul numar valabil ramane 1987.

Answer 2

2005=2005+7=2012,alt numar nu mai stiu