Question

Dacă m=(1+2+3)⁴+5×6×(7+8+9) și n=1+2+3+4+...+63, calculați
${2016}^{m - n}$
și determinați cel mai mare și cel mai mic număr natural nenul care împărțit la n dă câtul egal cu un sfert din rest .

Answer 1

Răspuns:

1

2020

1016060

Explicație pas cu pas:

Il calculam pe m.

m=(1+2+3)⁴+5*6*(7+8+9)

Facem calculul in paranteze:

m=6⁴+5*6*24

Il ridicam pe 6 la puterea a patra si facem produsul:

m=1296+720

m=2016

Il calculam pe n:

n=1+2+3+...+63

Folosim Suma lui Gauss:

n=63*(63+1)/2

n=63*64/2

Simplificam 64 cu 2:

n=63*32

n=2016

Vedem cat face 2016^(m-n).

Facem diferenta m-n:

m-n=2016-2016=0

Si finalizam:

2016^(m-n)=2016⁰=1

Orice numar nenul ridicat la puterea 0 este 1.

Sa determinam si cel mai mic numar care satisfice conditia din enunt.

Stim ca restul reprezinta un sfert din rest, deci daca notam cu r catul, atunci restul va fi 4r.

Notam cu x numarul cautat:

x:2016=r, rest 4r

Scriem teorema impartirii cu rest:

X=2016r+4r

X=2020r

Cum numarul x este nenul, dam lui r valoarea 1 si avem:  

X=2020

Verificare:

2020:2016=1, rest 4

Sa determinam si cel mai mic numar care satisfice conditia din enunt.

Stim ca restul reprezinta un sfert din rest, deci daca notam cu r catul, atunci restul va fi 4r.

Notam cu y numarul cautat:

Y:2016=r, rest 4r

Scriem teorema impartirii cu rest:

Y=2016r+4r

Y=2020r

Impunem conditia ca 4r<2016, adica r<504.

Cum inegalitatea este stricta, inseamna ca restul cautat are valoarea 504-1=503.

Y=2020*503=1016060

1016060:2016=503, rest 2012