Question

Daca multimea {x ∈ |R | x^2 + 2mx + 4 = 0} ∪ {x ∈ |R | x^2 - 4x +m^2 = 0} are doua elemente si m ∈ |R, atunci:
a)m ∈ [-2,2); b)m ∈ |R \ {2}; c)m ∈ |R \ {-2}; d)m ∈ |R \ {-2,2}.

Answer 1

avand variante cel mai simplu este sa verificam comportamentul ecuatiilor pentru m=2 si m= -2.

m=2

x²+4x+4=0 ⇔(x+2)²=0 cu solutia unica x1=-2

x²-4x+4=0⇔(x-2)²=0 cu solutia unica x2=2

m= -2

ecuatiile devin

x²-4x+4=0 si x²-4x+4=0 care determina ca reuniunea sa aiba doar un singur element {2}, fapt ce nu corespunde cerintelor.

Deci pentru m=2 reuniunea celor 2 multimi este formata din {-2, 2} ceea ce corespunde cerintelor. Este clar ca punctele b) si d) care exclud pe m=2 trebuie ignorate.

Pentru m= -2 avem reuniunea dintr-un singur element, deci nu corespunde cerintelor, deci nici punctul a) care include pe m=-2 nu este corect.

Din cele expuse rezulta corect punctul c), dar verificam acest lucru:

Δ1=4m²-16 Δ2=16-4m²=-Δ1

Cu alte cuvinte, cand o ecuatie nu are solutii reale, cealalta are 2 sau 1. Punem conditia ca Δ1 si Δ2 sa fie diferite de 0 (conditiile pentru Δ=0 au fost studiate si a rezultat singura posibila pentru m=2)

4m²-16≠0 deci pentru m≠ +/-2 avem sigur 2 solutii. Pentru m=-2 avem o singura solutie

Concluzie: pentru m∈R-{-2} reuniunea are 2 elemente. Punctul c este corect.