Question

daca n=3^7 ·7^11·11^3 , determinati numarul divizorilor lui n^2 care sunt mai mici ca n si nu sunt divizori ai lui n.

am n^2 reprezinta n la puterea a doua, etc. 

Answer 1

Dat fiind că 3, 7 și 11 sunt prime, divizorii lui n^2 pot fi formați numai din puterile lui 3, 7 și 11.
Oricare combinație din 3, 7 și 11 în care 3 apare de maxim 7 ori, 7 de maxim 11 ori și 11 de maxim 3 ori nu este bună. Din start avem 8 * 12 * 4 = 392 soluții care nu ne sunt utile, fiind divizori ai lui n.(nu uita de puterea 0!).

n^2 = 3 ^ 14 * 7 ^ 22 * 11 ^ 6. Numărul total de divizori este 15 * 23 * 7. Din acest total scădem cele 392 soluții, iar pentru cele rămase, trebuie testat dacă sunt mai mici ca n. Strategia este să adaugi puteri de 3, 7 sau 11 în timp ce scoți termeni de alt tip. Exemplu:
plecând de la n, 3 ^ 7 * 7 ^ 11 * 11 ^ 3, pot băga un 3 dacă scot un 7 sau un 11. Numărul se micșorează dar nu divide pe n deoarece are un termen de 3 ^ 8 care nu poate divide pe n.

Las verificarea eficientă a termenilor de a fi mai mici decât n ca exercițiu. Ideea o ai deja.