Question

Daca nu se vede problema in poza sa imi ziceti.

Answer 1

n= 1          I₁ = integ.[ x / ( x +1) ] dx 
                        x : ( x +1 ) ⇒         catul =1 si restul r = -1
                   = integ[ 1 -    1 / ( x +1) ] dx =  x  -   ln( x +1)    cu x=0 ; x=1 
                    = 1 - [ ln2  - ln1 ] = 1 - ln2                     [ ln1=0 ] 
2. cu x∈[0,1 ] subunitar       si    [1 +  x^n ] supraunitar     avem 
           x^n+1          ≤    x^n                  impartim 
            (  x^n+1 ) /   [1 +  x^n ]            ≤    x^n  /  [1 +  x^n ] 
               ⇒   I  n+1        ≤ I n      daca x∈[0,1]
3. cu  x∈ [0,1]                               x^n  /  [1 +  x^n ]     ≤       x^n    
     I n ≤  integrala (  x^n  ) dx  =(   x^n +1  )  / ( n +1 )   inlocuim x=0 ; x =1 
          ≤  1  / ( n +1) 
lim  I n     ≤    lim ( 1 / ( n +1)  = 0       , sirul integralelor este monoton 
n-->∞          n-->∞                                            descrescator