Dacă numerele a şi b sunt prime între ele, demonstraţi că a+b şi a-b sunt prime cu ab.
anastasiacraiu29:
adk daca a+b este prim cu ab (adica sunt prime intre ele) si a-b este prim cu ab (adica sunt prime intre ele)
A ok, nu prea îmi place cum s-a exprimate autorul, de unde este problema?
exprimat*
fac meditatii cu cnv, si mi-a dat fisa asta
efectiv nicaieri pe internet nu o mai gasesti, si este din 2005
De unde din 2005?
pai este o fisa online, gen profa a cautat ,,exercitii algebra+geometrie" si i-a dat asta
este fisa propusa de liceul pedagogic carmen sylva
A ok, mulțumesc!
cu placere:)
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
3
Notăm gcd(a+b,ab)=d, d∈N, în mod evident va exista un număr prim p astfel încât p|d, dar d|(a+b) și d|ab ⇒ p|(a+b) și p|ab, dar din p|ab ⇒ p|a sau p|b.
WLOG analizăm doar p|a, cazul p|b tratându-se în mod analog.
Dar p|(a+b), și cum p|a ⇒ p|b, contradicție cu gcd(a,b)=1, deci gcd(a+b,ab)=1.
Similar pentru gcd(a-b,ab)=1.
Notând gcd(a-b,ab)=d', d'∈N, în mod evident va exista un număr prim q astfel încât q|d, dar d'|(a-b) și d'|ab ⇒ q|(a-b) și q|ab, dar din q|ab ⇒ q|a sau q|b.
WLOG analizăm doar q|a, cazul q|b tratându-se în mod analog.
Dar q|(a-b), și cum q|a ⇒ q|b, contradicție cu gcd(a,b)=1, deci gcd(a-b,ab)=1.
Extra : Am notat gcd(x,y)=cmmdc(x,y).
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă