Question

Dacă numerele naturale x y, z verifică egalitatea 67x+52y=15z, arătați că numărul (x+y) x (y+z) x (z+x) se divide cu 2010

Answer 1

52x+52y=15z - 15x

52(x+y)=15(z-x)

cu (52;15)=1 si x;y∈N, rezulta:

x+y=15 (1)

z-x=52 (2), adunam (1) cu (2) rezulta:

z+y=67 (3), adunam (1) cu (3) rezulta:

z+x+2y=82

2y par, 82 par ⇒ (z+x) par ⇒ z+x=2k, k∈N

(x+y)(y+z)(z+x)=15 x 67 x 2k=2010k ⇒ (x+y)(y+z)(z+x) se divide cu 2010