Question

Dacă s este suma numerelor naturale nenule n cu proprietatea că numărul n^2

are exact n divizori numere naturale, atunci:

Answer 1

$S=1+2+3+4+5+6+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

și $n^2$ ( numărul de elemente din sumă ) divizibil cu 1,2,3,...,n

Verificăm cele 5 variante de răspuns

Dacă S>10, S are 4 elementete deci $n=4= > n^{2}=16$ care nu este divizibil cu 3, deci S nu poate avea mai mult de 4 elemente.

5<S≤10 => S are 3 sau 4 elemente deci dacă are n=3 nu e divizibil cu 2 si daca are 4 suntem în cazul S>10

3≤S≤5=> S=1+2=3 are 2 elemente n=2=>$2^{2}=4$ care este divizibil cu 1 și 2.

Răspuns corect : 3≤S≤5 C

Answer 2

• Spre exemplu: avem numarul 36

Daca il descompunem obtinem: 36=2²×3²

D₃₆={1,2,3,4,6,9,12,18,36} adica 9 divizori

• Alt exemplu: 64

64=2⁶

D₆₄={1,2,4,8,16,32,64} -7 divizori

• Observam ca numarul divizorilor = 1+exponentul

Dar, daca avem mai multe baze si mai multi exponenti, ca in cazul lui 36=2²×3², observam ca divizorii sunt 3×3=9 divizori

Deci formula generala pentru numarul divizorilor este:

nr divizori=(1+exponent₁)×(1+exponent₂)×...×(1+exponent₃)

Mai facem o verificare pentru a fi sigur ca formula este corecta

Luam numarul 45

45=3²×5

Deci numar divizori =(1+2)(1+1)=6

Verificam

D₄₅={1,3,5,9,15,45}=6 divizori

• Orice patrat perfect are un numar impar de divizori

Deci n ar trebui sa fie impar

Daca n=3 atunci 3²=9 , 9 are 3 divizori

Am stabilit ca pentru baza 3 avem 3 divizori

Pentru baza 5 avem 5² adica 3 divizori, nu este bun,

• Deci acum vom cauta doar numerele prime

Dar un numar prim are 2 divizori, pe 1 si pe el insusi.

Un numar prim la patrat are 3 divizori, pe 1, pe el insusi si pe el la patrat

• Asadar, singura solutie este n=3 adica 3²=9

Raspuns: S=3