Question

Daca se imparte un numar natural nenul la 2 sau 3 sau 4, de fiecare data obtinem restul 1. Daca se imparte acest numar la 5 se obtine restul 2. Cel mai mic numar cu aceasta propietate are suma cifrelor : a) 3 ; b)6 ; c)10; d)9.
AJUTOOOOOOOORR!

Answer 1

Fie n numarul cautat si w, x, y si z cele 4 caturi.

n:2=w rest 1
n:3=x rest 1
n:4=y rest 1
n:5=z rest 2
=>
n=2w+1
n=3x+1
n=4y+1
n=5z+2
=>
n-1=2w
n-1=3x
n-1=4y
n-1=5z+1 (nu prea ne intereseaza relatia aceasta)
=>
n-1 apartine M 2;3;4=>
n-1 apartine {12; 24; 36; 42;...}

12: 1+2=3.
Cel mai mic numar care indeplineste aceasta conditie este 12, avand suma cifrelor sale de 3.
Raspuns: A) 3

Answer 2

n=2c₁+1
n=3c₂+1
n=4c₃+1
⇔n-1=[2c₁;3c₂;4c₃]=12k
⇔n=12k+1 (unde k∈N ,k≠0)
n=5c₄+2
⇔12k+1=5c₄+2
Observam ca membrul din stanga este un numar impar deci va avea ca ultima cifra {1;3;5;7;9}. Asadar si membrul din dreapta va fi impar.
u.c(5c₄)∈{0;5} ⇔u.c(5c₄+2)∈{2;7} ⇒pentru ca 5c₄+2 este impar va rezulta ca u.c(5c₄+2)=7 ⇔u.c(12k+1)=7 .
Cel mai mic numar posibil cu aceasta proprietate este 97.
97=5·19+2=12·8+1 ⇒9+7=16(varianta b);