Question

Daca sin²B+sin²C=sin²A, aratati ca triunghiul este dreptunghic. Va rog sa ma ajutati il legatura cu aceasta problema :(

Answer 1

Te foloseşti de teorema sinusurilor:

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$

a, b, c = laturile triunghiului

Îl scriem pe sin B şi sin C în funcţie de sin A:


[tex] \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} \\ \\ sin B = \frac{b \ * \ sin A}{a} => sin^2B = \frac{b^2 \ * \ sin^2 A}{a^2} \\ sin C = \frac{c \ * \ sin A}{a} => sin^2C = \frac{c^2 \ * \ sin^2 A}{a^2} \\ \\ sin^2B + sin^2C = \frac{b^2 \ * \ sin^2 A \ + \ c^2 \ * \ sin^2 A}{a^2}[/tex]

Îl dăm factor comun pe sin A şi obţinem:

$sin^2B + sin^2C = \frac{ sin^2 A \ (b^2\ + \ c^2 )}{a^2}$

Dar ştim, din cerinţă, că 

$sin^2B+sin^2C=sin^2A$

[tex]=>\\ \\ \frac{ sin^2 A \ (b^2\ + \ c^2 )}{a^2} = sin^2A[/tex]

Avem sin A în ambele părţi, deci îl simplificăm şi obţinem:

[tex] \frac{b^2\ + \ c^2 }{a^2} = 1 \\ <=> {b^2\ + \ c^2 = a^2 \\[/tex]

Asta este exact teorema lui Pitagora, valabilă în triunghiul dreptunghic ( suma pătratelor a două laturi este egală cu pătratul celei de a treia). Deci, din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul este dreptunghic.