Question

Daca stie cineva sa faca problema, va rog.
Fie triunghiul cu varfurile M,N,P de coordonate M(-1,-3), N(2,4), P(3,5).
a) Sa se determine panta dreptei MN si cos P.
b) Sa se scrie ecuatia inaltimii din N
c) Sa se scrie ecuatia dreptei ce trece prin P si este paralela cu MN.

Answer 1

M(-1,-3), N(2,4), P(3,5). 
a) panta dreptei MN= (yN-yM)/(xN-xM) = (4+3)/(2+1)=7/3
cos(MPN)=(MP²+PN²-MN²)/2MP*PN

formula de bază pentru calculul unei laturi este AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²
MP²=(3+1)²+(5+3)²=16+64=80 =>MP=√80=4√5
PN²=(2-3)²+(4-5)²=1+1=2 => PN=√2
MN²=(2+1)²+(4+3)²=9+49=58

înlocuim în formulă și obținem cos(MPN)=(80+2-58)/(2*4√5*√2) = 24/8√10 = 3/√10

b)fie h înălțimea din N, atunci h va fi perpendiculară pe MP, deci produsul pantelor celor două drepte va fi -1 => mh*mMP=-1
calculăm panta MP: mMP=(yP-yM)/(xP-xM)=(5+3)/(3+1)=8/4=2   deci mh*2=-1 => mh=-1/2 (panta înălțimii h, care trece prin punctul N(2,4) )
ecuația dreptei: y-yN=mh(x-xN) => y-4=-1/2*(x-2) => 2y-8=-x+2 => x+2y-10=0

c) dacă dreapta este paralelă cu MN, atunci va avea panta egală cu panta dreptei MN = 7/3 iar dreapta trece prin punctul P(3,5)
ecuația dreptei: y-yP=m*(x-xP) => y-5=7/3*(x-3) => 3y-15=7x-21 => -7x+3y+6=0