Dacă trapezul ABCD cu AB || CD şi AB < CD are aria egală cu 384 cm, iar
lungimea laturii neparalele [BC] este egală cu 16 cm şi punctul M este mijlocul
laturii (AD), atunci distanta de la punctul M la dreapta BC este egală cu ... cm.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
24 cm
Teoremă:
Într-un trapez oarecare, aria triunghiului delimitat de punctul mijlociu al unei laturi neparalele și capetele celeilalte laturi neparalele, este egală cu jumătate din aria lui.
Demonstrație:
Notez jumătate din înalțimea trapezului cu a.
S(DMC) = (b·h)/2 = (DC·a)/2
S(AMB) = (b·h)/2 = (AB·a)/2
Dar 2S(DMC) + 2S(AMB) =
= (DC·a) + (AB·a) = a·(DC+AB) = (h/2)·(DC+AB) = S(ABCD)
⇒ S(ABCD) = 2S(DMC) + 2S(AMB) ①
Pe de altă parte, S(ABCD) = S(DMC) + S(MBC) + S(AMB) ②
Scad relația ① cu relația ②:
⇒ 0 = S(DMC) - S(MBC) + S(AMB)
⇒ S(MBC) = S(DMC) + S(AMB)
Din relația ① rezultă că:
S(MBC) = S(ABCD) / 2 ⇒ S(ABCD) = 2S(MBC)
Rezolvare:
Deoarece M' este mijlocul lui BC înseamnă că BM' = 16/2 = 8, iar M'C = 16/2 = 8.
Pentru MBM':
S(MM'B) = (b·h)/2 = (M'B·d)/2 = (8·d)/2
⇒ S(MM'B) = 4d
Pentru MM'C:
S(MM'C) = (b·h)/2 = (M'C·d)/2 = (8·d)/2
⇒ S(MM'C) = 4d
Din teorema demonstrată anterior, obținem:
S(ABCD) = 2S(MDC) = 2[S(MM'B) + S(MM'C)]
⇒ 384 = 2·(4d + 4d) ⇒ 16d = 384 ⇒
⇒ d = 384/16 ⇒ d = 24 cm
S(DMC) = (b*h)/2 = (DC*a)/2
S(AMB) = (b*h)/2 = (AB*a)/2
Dar 2SDMC + 2SAMB = (DC*a) + (AB*a)= a*(DC+AB) = (h/2)*(DC+AB) = SABCD
=> S(ABCD) = 2S(DMC) + 2S(AMB) (1)
Pe de altă parte, S (ABCD) = S (DMC) + S (MBC) + S (AMB) (2)
Scad relația (1) cu (2):
=> 0 = S(DMC) - S(MBC) + S(AMB)
=> S(MBC) = S(DMC) + S(AMB)
Din relația (1) rezultă că S(MBC) = S(ABCD) / 2 (q.e.d.)
S(DMC) = (b*h)/2 = (DC*a)/2
S(AMB) = (b*h)/2 = (AB*a)/2
Dar 2S(DMC) + 2S(AMB) = (DC*a) + (AB*a)= a*(DC+AB) = (h/2)*(DC+AB) = SABCD
=> S(ABCD) = 2S(DMC) + 2S(AMB) (1)
Pe de altă parte, S(ABCD) = S(DMC) + S(MBC) + S(AMB) (2)
Scad relația (1) cu (2):
=> 0 = S(DMC) - S(MBC) + S(AMB)
=> S(MBC) = S(DMC) + S(AMB)
Din relația (1) rezultă că S(MBC) = S(ABCD)/2