Question

Daca triunghiul ABC ~ cu triunghiul DEF si AB/DE=3 , calculate raportul ariilor celor doua triunghiuri

Answer 1

Doua triunghiuri asemenea au laturi proportionale dar si unghiurile egale.

Atunci stii ca $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$(1)
Ducem inaltimile din A pe BC, o notam cu M, si din D pe EF, o notam cu N
Atunci o sa avem triunghiurile dreptunghice AMB si DNE cu $\widehat{AMB}=\widehat{DNE}=90$ fiecare cu catetele AB,MB respectiv DN,NE si ipotenuzele AB, respectiv BE
Mai stim ca sinusul unui unghi in triunghi dreptunghic are formula
$\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}$
Aplicam la cele doua triunghiuri pentru unghiurile ABC si DEF
$\sin{ABM}=\frac{AM}{AB}$
$\sin{DEN}=\frac{DN}{BE}$
Din (1), cum am spus, sunt unghiuri egale, deci si sinusurile sunt egale
Atunci
$\frac{AM}{AB}}=\frac{DN}{BE}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{AB}{BE}=3$

Laturile sunt proportionale, deci raportul lor este egal
$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=3$
Avem toate datele acum sa facem raportul ariilor

A_ABC/A_DEF=AM*AB/DN*BC=AM/DN*AB/BC=3*3=9