Question

daca x=1/1×2+1/2×3+1/3×4+...+1/100×101) si y=1/1×2+1/2+3+1/3×4+...+1/50×51 calculati
$\frac{2 \sqrt{x} + 3 \sqrt{y} }{2 \sqrt{xy} }$
​

Answer 1

...............................

Answer 2

Răspuns:

$\frac{2\sqrt{102}+3\sqrt{101} }{10}$

Explicație pas cu pas:

x=$\frac{1}{1*2} +\frac{1}{2*3} +... +\frac{1}{100*101}$

pentru a il calcula pe x, trebuie sa lucram fiecare fractie individual. Observam ca diferenta dintre factorii numitorului este de 1, exact numaratorul.

$\frac{1}{1*2}=\frac{2-1}{1*2} =\frac{2}{1*2} -\frac{1}{1*2}=1-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2*3}=\frac{3-2}{2*3}=\frac{3}{2*3} -\frac{2}{2*3} =\frac{1}{2} -\frac{1}{3}$

.....................

$\frac{1}{100*101}=\frac{101-100}{100*101}=\frac{101}{100*101} -\frac{100}{100*101}=\frac{1}{100} - \frac{1}{101}$

_____________ Adunam pe coloane

$\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3} + ... + \frac{1}{100*101} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100} -\frac{1}{101}$

Observam ca ce se afla in stanga egalului este exact x. In dreapta, avem grupari de aceiasi termeni cu semn contrat care se reduc (spre exemplu, -1/2 si +1/2, care fac 0)

=> $x=1-\frac{1}{101}$ <=> $x=\frac{101-1}{101}=\frac{100}{101}$

Pentru a il calcula pe y se va folosi aceeasi metoda, insa eu voi scriu direct rezultatul. In cadrul rezolvarii tale, poti sa scrii "Aidoma pentru y", urmata de y-ul final, exact cum o sa fac si eu.

$y=1-\frac{1}{51}=\frac{51-1}{51}=\frac{50}{51}$

Cat pentru fractie,

$\sqrt{x} =\sqrt{\frac{100}{101} } =\frac{\sqrt{100} }{\sqrt{101} } =\frac{10}{\sqrt{101} } =\frac{10\sqrt{101} }{101}$

$\sqrt{y}=\sqrt{\frac{50}{51}}=\frac{\sqrt{50} }{\sqrt{51} } =\frac{5\sqrt{2}*\sqrt{51} }{51}=\frac{5\sqrt{102}}{51}$

=> la numitor vom avea:

$2\sqrt{x} +3\sqrt{y} =\frac{2*10\sqrt{101} }{101} +\frac{3*5\sqrt{102} }{51} = \frac{20\sqrt{101}*51+3*5\sqrt{102}*101 }{51*101}$

La numitor o sa fie:

$2\sqrt{xy} =2\frac{10\sqrt{101}*5\sqrt{102} }{101*51}$

Astfel fractia deveni, fii pregatit

$\frac{\frac{20\sqrt{101}*51+15\sqrt{102}*101 }{51*101} }{2\frac{{10*5*\sqrt{101*102} } }{101*51} }$

Din fericire, observam ca se reduc numaratorii

=> $\frac{1020\sqrt{101}+1515\sqrt{102} }{50\sqrt{101*102} }$

Simplificam toata ecuatia prin 5

=> $\frac{204*\sqrt{101}+303\sqrt{102} }{10\sqrt{101*102} }$

Putem lasa asa sau putem merge un pas mai in fata!

Observam ca:

$204=2*102=2*\sqrt{102} ^{2}$

$303=3*101=3*\sqrt{101} ^{2}$

=>  dam factor comun pe $\sqrt{101}*\sqrt{102}$ la numitor si acesta devine:

$\sqrt{101*102} (2\sqrt{102}+3\sqrt{101})$

Fractia devine:

$\frac{\sqrt{101*102}(2\sqrt{102}+3\sqrt{101})}{10*\sqrt{101*102} }$

Simplificam radicalul

=> Raspuns:

$\frac{2\sqrt{102}+3\sqrt{101} }{10}$