Question

Daca x este masura unui unghi ascutit, aratati ca:

a) sin2 x = tg2x / 1 + tg2x

b) 1 / sin2 x + 1 / cos2 x = (tgx+ctgx)2

(sin2 , cos2 , tg2, ct2 inseamna sin patrat cos patrat tg patrat ctg patrat.)

Answer 1

In rezolvare nu am mai scris $sin^{2} x$, am preferat sa scriu $sin^{2}$, la fel si cu celelalte notiuni. :)

a) $sin^{2} = \frac{ tg^{2} }{1+ tg^{2} }$

   Stiim ca $tg= \frac{sin}{cos}$, si inlocuim:
     $sin^{2} = \frac{\frac{ sin^{2} }{ cos^{2}} }{1+\frac{ sin^{2} }{ cos^{2}}} \\ \\ sin^{2}= \frac{\frac{ sin^{2} }{ cos^{2}} }{ \frac{ sin^{2} + cos^{2} }{ cos^{2} } }$

   Stiim ca $sin^{2} + cos^{2} =1$ (Formula fundamentală a trigonometriei), si inlocuim:
   $sin^{2} =\frac{ sin^{2} }{ cos^{2}} * \frac{ cos^{2}}{1} \\ \\ sin^{2} = \frac{ sin^{2} }{1}$

   Astfel ajungem la o propozitie adevărată.

b)$\frac{1}{ sin^{2} } + \frac{1}{ cos^{2} } = (tg+ctg)^{2}$

  Stiim si că: $ctg= \frac{cos}{sin}$, si inlocuim:
    $\frac{1}{ sin^{2}} + \frac{1}{ cos^{2}} = (\frac{sin}{cos}+ \frac{cos}{sin}) ^{2} \\ \\ \frac{1}{ sin^{2}} + \frac{1}{ cos^{2}}= (\frac{ sin^{2}+ cos^{2} }{cos * sin} )^{2} \\ \\ \frac{1}{ sin^{2}} + \frac{1}{ cos^{2}} = \frac{1}{ sin^{2}* cos^{2} }$
  Inmultim ambii membrii cu $sin^{2} *cos^{2}$ :
    $\frac{ cos^{2}* sin^{2}}{ sin^{2} } + \frac{cos^{2}* sin^{2}}{ cos^{2} } =1 \\ \\ cos^{2} + sin^{2} =1$
, ajungând chiar la formula fundamentala a trigonometriei, așadar la o propozitie adevarata.

Sper ca ti-am fost de ajutor. :)