Question

Daca x indice 1, x indice 2 sunt rădăcinile ecuatiei x²-4x+1=0, atunci sa se calculeze: ((x indice 1)³+x indice 1-1)/((x indice 1)³+x indice 1 +1)+((x indice 2)³+x indice 2 -1)/((x indice 2)³+x indice 2+1)

Answer 1

$x_1$ verifică ecuația, deci $x_1^2-4x_1+1=0\Rightarrow x_1^2=4x_1-1$
Înmulțim cu $x_1$: $x_1^3=4x_1^2-x_1$
Analog $x_2^3=4x_2^2-x_2$
Înlocuind în expresie obținem $\frac{4x_1^2-1}{4x_1^2+1}+\frac{4x_2^2-1}{4x_2^2+1}$
Înlocuim acum pătratele și se obține $\frac{16x_1-5}{16x_1-3}+\frac{16x_2-5}{16x_2-3}$
Făcând calculele rezultă $\frac{512x_1x_2-128\left(x_1+x_2\right)+30}{256x_1x_2-128\left(x_1+x_2\right)+9}$
Dar $x_1+x_2=4, \ x_1x_2=1$
Se înlocuiesc suma și produsul și se fac calculele.