Question

Daca x si y sunt numere naturale, aratati ca (x+2y)divizibil cu 3 daca si numai daca (2x+y) divizibil cu 3

Answer 1

Luam cazul in care stim ca x+2y se divide cu 3
Avem 3x+3y divizibil cu 3, oricare ar fi x si y naturale
Din cele doua avem (3x+3y)-(x+2y) divizibil cu 3
3x+3y-x-2y divizibil cu 3
2x+y divizibil cu 3
Am demonstrat relatia $(x+2y)~\vdots~3\Rightarrow(2x+y)~\vdots~3$

Analog pentru cazul in care stim ca 2x+y se divide cu 3, din care avem relatia $(x+2y)~\vdots~3\Leftarrow(2x+y)~\vdots~3$

Din cele doua relatii avem echivalenta $(x+2y)~\vdots~3\Leftrightarrow(2x+y)~\vdots~3$