Question

Daca x=$\frac{ \sqrt{6-2 \sqrt{5} }+ \sqrt{6+2 \sqrt{5} } }{2}$, aratati ca (x^2+x-\sqrt {5} ^2011 - 1 e divizibil cu 4

Answer 1

$x= \frac{ \sqrt{6-2 \sqrt{5} }+ \sqrt{6+ 2\sqrt{5} } }{2}= \frac{ \sqrt{5-2 \sqrt{5}+1 }+ \sqrt{5+2 \sqrt{5}+1 } }{2}= \frac{ \sqrt{( \sqrt{5}-1) ^{2} }+ \sqrt{ (\sqrt{5}+1) ^{2} } }{2} = \\ \\ = \frac{| \sqrt{5}-1|+| \sqrt{5}+1| }{2}= \frac{ \sqrt{5}-1+ \sqrt{5} +1}{2}= \frac{2 \sqrt{5} }{2}= \sqrt{5} .$

$( x^{2} +x- \sqrt{5} ) ^{2011} -1= (5+ \sqrt{5}- \sqrt{5}) ^{2011}-1 = 5^{2011}-1.$

Un numar natural este divizibl cu 4, daca numarul (in baza 10) alcatuit de ultimele 2 cifre ale sale este un multiplu de 4.

Ultimele 2 cifre ale unei puteri de-ale lui 5 sunt 25.
Deci ultimele 2 cifre ale lui $5^{2011} -1$ sunt 24, deci numarul este divizibil cu 4.

-------------------
(*De altfel s-ar mai fi putut folosi o proprietate:" $a^{n}- b^{n}$ este divizibil cu (a-b) ...dar asta depaseste programa scolara.)