Question

Dacă x, y ∈ ℝ+, să se arate că x³+y³ ≥ x²y + xy².​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

${x}^{3} + {y}^{3} = (x + y)( {x}^{2} - xy + {y}^{2} )$

${x}^{2} y + x {y}^{2} = xy(x + y)$

$(x + y)( {x}^{2} - xy + {y}^{2} ) \geqslant xy(x + y)$

${x}^{2} - xy + {y}^{2} \geqslant xy$

${x}^{2} - 2xy + {y}^{2} \geqslant 0$

${(x - y)}^{2} \geqslant 0$

Ceea ce adevărat deoarece orice număr la o putere para va fi un număr pozitiv