Question

Daca x,y si a sunt numere reale pozotive sa se arate ca :
a) (x+y)+(y+z)+(z+y)mai mic sau egal decat 8xyz
b) x+y+zmai mic sau egal decat radical din xy+radical din yz+radical din xz

Answer 1

a)
ma ≥ mg
(x + y) / 2 ≥ √xy ==> x + y ≥ 2√xy
(y + z) / 2 ≥ √yz ==> y + z ≥ 2√yz
(z + x) / 2 ≥ √zx ==> z + x ≥ 2√zx

Inmultim relatiile:

(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 2 * 2 * 2 * √(x²y²z²) = 8xyz

b)Facem la fel:

(x + y) / 2 ≥ √xy 
(y + z) / 2 ≥ √yz 
(z + x) / 2 ≥ √zx 

Le adunam:

(2x + 2y + 2z) / 2 ≥ √xy + √yz + √zx 
x + y + z ≥ √xy + √yz + √zx