Question

Daca x,y,z sunt numere reale pozitive sa se arate ca:
(x+1)(y+1)(x+z)(y+z)>sau egal 16xyz

Answer 1

Inegalitatea mediilor (ma ≥mg≥mh)  pentru numerele a si b:

(a+b)/2 ≥ √ab ≥2ab / (a+b)

Scriu relatia dintre ma si mg pentru numerele x si 1, y si 1, x si z, y si z :
(x+1)/2 ≥ √x    ⇒x+1 ≥ 2√x
(y+1) /2 ≥ √y  ⇒ y+1 ≥ 2√y
(x+z) /2 ≥ √xz ⇒ x+z ≥ 2√xz
(y+z)/2 ≥ √yz  ⇒ y+z ≥ 2√yz

                              ↓
                     (le inmultesc)
                 ⇒(x+1)(y+1)(x+z)(y+z) ≥ 16√x²y²z²
                 ⇒ (x+1)(y+1)(x+z)(y+z) ≥16xyz