Question

Dacă x, y, z sunt numere reale pozitive, să se arate că: x(y + 1) + y (z+1) + z(x+1) ≥ 6√xyz.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$x(y + 1) + y(z + 1) + z(x + 1) = xy + x + yz + y + zx + z$

inegalitatea mediilor:

$\frac{xy + x + yz + y + zx + z}{6} \geqslant \sqrt[6]{xy \cdot x \cdot yz \cdot y \cdot zx \cdot z}$

$xy + x + yz + y + zx + z \geqslant 6\sqrt[6]{ {x}^{3} {y}^{3} {z}^{3}}$

$x(y + 1) + y(z + 1) + z(x + 1) \geqslant 6{(xyz)}^{ \frac{3}{6} }$

$x(y + 1) + y(z + 1) + z(x + 1) \geqslant 6 \sqrt{xyz}$

q.e.d.