Question

Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației x^2+x+1=0, atunci numărul A=(x1)^2020 +(x2)^2020 este egal cu...?
Vă mulțumesc anticipat!

Answer 1

Salut,

Avem din enunț că:

x² + x + 1 = 0, înmulțim această ecuație cu x -- 1 și avem că:

(x -- 1)(x² + x + 1) = 0 ⇔ x³ + x² + x -- x² -- x -- 1 = 0, sau x³ = 1.

Cum x₁ și x₂ sunt soluții, avem că x₁³ = 1 și x₂³ = 1.

Aplicăm relațiile lui Viete pentru ecuația din enunț (sau știm asta de la ecuația de gradul al II-lea):

x₁ + x₂ = --1/1 = --1.

Apoi 2020 = 3·673 + 1, deci

$x_1^{2020}=x_1^{3\cdot 673+1}=(x_1^3)^{673}\cdot x_1=1^{673}\cdot x_1=x_1.$

Similar se află că x₂²⁰²⁰ = x₂.

Avem deci că:

A  = x₁ + x₂ = --1.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.