Question

Dacă x₁, x₂ sunt soluțiile ecuației x² + x + 1 = 0, să se calculeze: $x_{1} ^{n} + \frac{1}{ x_{1} ^{n} }$, n∈ N

Answer 1

este  o ecuatie teoretica : 
x² + x +1 = 0  nu are solutia 1 
se inmulteste cu ( x  - 1) 
( x -1)· ( x² + x +1 ) = 0 
x³ -1 = 0       ⇒   deci  oricare solutie x₁ , x₂ 
avem x₁³ =1   ;  x₂³ =1  
puteri : 
daca  n = 3· k ( multiplu de  3) 
           x₁ ( la  n ) + 1 / x₁ ( la n)  = 1 + 1 = 2 
        n = 3· k + 1    , cu propr. puteri 
           x₁¹  + 1 / x₁¹  = ( x₁² + 1) / x₁ = ( - x₁) / x₁   =  - 1 
radacina  x₁ , verifica  ecuatia  x₁² + x₁ + 1 =0      ;  x₁² + 1 =  - x₁ 
         n = 3· k  + 2  , cu propr. puteri 
        x₁²  +  1 / x₁² = ( x₁⁴ + 1) / x₁² = ( x₁³x₁ + 1) / x₁² = ( x₁ + 1) / x₁²  = 
    dar  x₁² =  - x₁ - 1 
                = ( x₁ + 1) / (  -x₁ - 1) = - 1