Question

Daca z este solutie a ecuatiei |z|+z=8+4i atunci |z| este

Answer 1

Răspuns:

din ecuatia data putem deduce ca z este un numar complex.

forma generala a unui numar complex este x+yi, unde x este partea reala a numarului, iar y este partea imaginara.

notam z = a + bi (a-partea reala a lui z; b-partea imaginara a lui z)

|z| (modulul numarului complex z) = radical (a²+b²)

inlocuim in ecuatia data :

radical (a²+b²) + a + bi = 8 + 4i

mai sus avem doua numere complexe care sunt egale. acest lucru are loc atunci cand partile reale, respectiv cele imaginare, sunt egale. Deci avem:

1. radical (a²+b²) + a = 8

2. b = 4

inlocuim pe b in prima relatie :

radical (a²+16) + a = 8 (il ducem pe a in partea dreapta)

radical (a²+16) = 8 - a (ridicam ambii membri la patrat pentru a scapa de radical)

a²+16 = (8 - a)²

a² + 16 = 8² - 2*8*a + a² (binomul la patrat)

se reduce a² cu a² si obtinem :

16 = 64 - 16*a (il ducem pe 16*a in stanga, iar pe 16 in dreapta)

16*a = 64 - 16

16*a = 48

a = 48/16 = 3

deci a = 3 si b = 4, de unde rezulta ca z  = 3 + 4i

deci |z| = radical (3²+4²) = radical (9+16) = radical (25) = 5