Matematică, întrebare adresată de xfaiter02, 9 ani în urmă

Dat fiind un triunghi ABC cu I centrul cercului inscris triunghiului. Sa se arate ca punctele I,M,N coliniare (M ∈ [AB] ∧ N ∈ [AC]) daca si numai daca 1/MA + 1/NA = a+b+c/bc . (a,b,c lat triunghiului)


ovdumi: trebuie sa mai spui ce inseamna M si N
xfaiter02: M apartine pe AB iar N pe AC
xfaiter02: eu m-am gandit sa duc bisectoarele si sa folosesc Menelaus dar nu prea imi place cum iese. Eventual am apelat la t bisectoarei in triunghiul AMN resp ABC..
ovdumi: daca te gandesti la menelaus inseamna ca esti a 9-a
ovdumi: eu abia ma chinui cu a 8-a
xfaiter02: da , sunt a 9-a dar menelaus merge si in gimnaziu...e geometrie sintetica

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de albastruverde12
2
\displaystyle Este~o~problema~clasica.~Voi~prezenta~o~solutie~vectoriala. \\  \\ Notam~ \frac{AM}{MB}=m~si~\frac{AN}{NC}=n. \\  \\ Avem~ \overrightarrow{IM}= \frac{1}{m+1}\overrightarrow{IA}+\frac{m}{n+1}\overrightarrow{IB}~si~\overrightarrow{IN}= \frac{1}{n+1}\overrightarrow{IA}+\frac{n}{n+1}\overrightarrow{IC}. \\  \\ Se~stie~ca~pentru~orice~punct~X~din~plan~are~loc~relatia \\  \\ \overrightarrow{IX}= \frac{a\overrightarrow{AX}+b\overrightarrow{BX}+c\overrightarrow{CX}}{a+b+c}.

\displaystyle Folosim~aceasta~relatie~pentru~X=A,~X=B~si~X=C.~Astfel \\  \\ vom~obtine~o~epresie~a~vectorilor~\overrightarrow{IM}~si~\overrightarrow{IN}~in~functie~de~vectorii \\  \\ \overrightarrow{AB},~\overrightarrow{BC},~\overrightarrow{CA}. \\  \\ Apoi~scriem~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}. \\  \\ (scopul~este~sa~exprimam~vectorii~\overrightarrow{IM}~si~\overrightarrow{IN}~in~functie~de~aceeasi \\  \\ doi~vectori)

\displaystyle Voi~scrie~expresiile~finale~direct,~caci~sunt~destule~calcule~pe \\  \\ parcurs~si~sunt~usoare. \\  \\ \overrightarrow{IM}= \frac{-am+b-cm}{(a+b+c)(m+1)}\overrightarrow{BA}+ \frac{c+cm}{(a+b+c)(m+1)}\overrightarrow{CA} \\  \\ \overrightarrow{IN}= \frac{b+bn}{(a+b+c)(n+1)}\overrightarrow{BA}+\frac{-an-bn+c}{(a+b+c)(n+1)}\overrightarrow{CA}.

\displaystyle Din~conditia~de~coliniaritate~rezulta~ca~cei~doi~vectori~sunt \\  \\ coliniari~ \bold{daca~si~numai~daca}~ \\  \\ \frac{-am+b-cm}{b+bn} \cdot \frac{n+1}{m+1}= \frac{c+cm}{-an-bn+c} \cdot \frac{n+1}{m+1}. \\  \\ Echivalent~cu~(am-b+cm)(an+bn-c)=bc(m+1)(n+1). \\  \\ Dupa~desfacerea~parantezelor,~reducerea~termenilor~si~factorizare \\  \\ avem~(a+b+c)(mna-bn-cm)=0,~de~unde~mna=bn+cm. \\  \\ Deci~\frac{a+b+c}{bc}= \frac{m+1}{mc}+ \frac{n+1}{nb}.

\displaystyle~Ultima~relatie~este~chiar~relatia~pe~care~trebuia~sa~o~demonstram. \\  \\ Din~\frac{AM}{MB}=m~rezulta~prin~proportii~derivate~AM= \frac{mc}{m+1}. \\  \\ Analog~AN= \frac{nb}{n+1}.

albastruverde12: Am boldat cuvintele "daca si numa daca" pentru a evidentia faptul ca desi problema este de tip "p <=> q", nu este obligatoriu sa demonstram ca "p => q" si "q => p". Aici, am mers pe echivalente succesive, demonstrand ambele implicatii simultan. (gen p <=> p1 <=> p2 <=> q)
xfaiter02: Multumesc mult!
xfaiter02: tot la vectori m-am rezumat si eu si am descoperit ca AM/AN = b/c folosind teorema bisectoarei (forma vectoriala) ptr AI
albastruverde12: Cu placere!
Alte întrebări interesante