Question

Dați exemplu de 3 numere în progresie aritmetica astfel încât dacă la ultimul termen adunam suma primilor 2 sa obținem 3 nr în progresie geometrica

Answer 1

x
x+r
x+2r
3x+3r
in progresie geometrica are sens pt ultimii 3 (textul nu e clar formulat CARE sa fie progresia geometrica)

(x+r)(3x+3r)=(x+2r)²
3x²+6xr+3r²=x²+4xr+4r²
2x²+2xr-r²=0
este o ecuatie omogena de grad 2
deci
impartim ec cu r² si notam x/r=y
2y²+2y-1=0
y1,2=(-2+-√(4+8))/4
y1,2=(-1+-√3)/2


observam ca avem o dubla dependenta liniara intre x si r, deci o dubla infinitate de solutii
s-a cerut o progresie luam in caz convenabil
x=r*(-1+√3)/2
fie r=2
 atunci x=-1+√3
x+r=1+√3
x+2r=3+√3

verificare
3x+3r=3+3√3

(3+√3)²=(1+√3)(3+3√3)
(√3(1+√3))²=3(1+√3)² adevarat, bine rezolvat

Answer 2

Notăm cele trei numere cu a, b, c.

I)  Numerele sunt în progresie aritmetică, de rație r, deci ele pot fi scrise:

b-r,  b,  b+r     (1)

II) La ultimul număr din (1) adunăm primele două numere și obținem :

 
b-r,  b,  3b    (2)


Cele trei numere din configurația (2) sunt în progresie geometrică, deci :

b² = 3b(b-r ) ⇒ b = 3(b-r)⇒b = 3b - 3r ⇒ 3r = 2b ⇒ r = 2b/3     (3)

(1), (3) ⇒  b - 2b/3,  b,  b + 2b/3 sunt în progresie aritmetică, iar, după ce

 efectuăm scăderea și adunarea, numerele vor fi:

(1/3) b,  b,  (5/3)b

Pentru b = 3k, k∈ℕ*   ⇒ k,  3k,  5k numere în progresie aritmetică.

Verificăm dacă, folosind aceste trei numere,  se formează o progresie

 geometrică în modul descris de enunț. Primele două numere rămân

neschimbate, iar la al treilea adunăm primele două numere.

Vom avea configurația : k,  3k,  9k


(3k)² = 9k·k ⇔ 9k² = 9k² (A)

Așadar, o soluție poate fi tripletul (k,  3k,  5k), pentru k∈ℕ*.